【标题】浅谈参数方程在解析几何中的应用
【作者】沈 杰
【关键词】参数方程 解析几何 函数 曲线
【指导老师】鄢 丽
【专业】数学与应用数学
【正文】
1 引言
众所周知由所给条件求动点的轨迹是解析几何的基本问题之一在探求轨迹方程时除了
一些比较简单的曲线外要直接用 、 间的函数关系来表示曲线上的点的运动规律即建立
曲线的普通方程往往是比较困难的这时一般需要借助于参数建立曲线的参数方程.
有时建立和运用曲线的普通方程虽不太难但是在解题时却很困难如果在解题时选用参数
方程通过参数来联系表达几个变量的变化便把几个变量的变化归结为参数的变化这样
便能化繁为简更有利于问题的解决.
本文主要从理论和应用两方面研究参数方程.在掌握参数方程的相关理论的基础上,归纳出
运用参数方程解决各类题型的方法.
2 参数方程的概念
定义2.1 [1] 解析几何所研究的曲线通常都可看作是一个点遵循某种规律运动而形成的
轨迹.因而曲线是运动规律的几何表示.另一方面在直角坐标系里点的运动规律往往又
可以通过 与 的某个方程表示出来方程则是运动规律的解析表示.把同一个运动规律的两
种表示形式——几何形式与解析形式联系起来就可以在曲线与方程之间建立一种对应关
系.例如我们曾用 、 的一次方程表示直线用 、 的二次方程表示圆锥曲线等等.
但是有些运动规律难于用 、 的方程直接地表示出来.这时常常采用这样的办法引进一
个适当的辅助变量比如说 把动点 的坐标分别表示成 的函数
(2.1)
这样通过辅助变量 就把 、 间接地联系起来了因此2.1也可以用来表示点运动规
律.而且通过它有时还可以进一步求出直接联系 、 的方程.形如(2.1)这样的方程称为参
数方程.
定义2.2 [8] 对于曲线 及方程
(2.2)
如果ⅰ曲线 上任何一点 可由某一 值通过2.2式给出
ⅱ对于 的每一个允许值由2.2式确定的 、 为坐标的点 都在曲线 上
我们就称2.2为曲线 的参数方程 称为参变量或参数.而曲线 则称为方程2.2的
图形.
相对于此从前学习过的曲线方程 称为普通方程.要注意的是普通方程与参数方程都是直
角坐标系中的曲线方程.
由上述定义知道所谓曲线的参数方程应包含两层意义
ⅰ这条曲线上的点都由该方程来确定
ⅱ该方程确定的点都在曲线上.
3 参数的选取以及参数方程的建立
3.1 选取参数的一般原理及要求[2]
由曲线参数方程的定义不难看出在确定一条曲线的参数方程时,一定要选取适当的参数.
所谓适当一般无固定标准大致适合如下要求即可.第一、要使参数方程与原方程(或所求
轨迹的原形式)的曲线是同一曲线即不增加又不减少第二、选取参数 的一个函数为一个
坐标代人原方程易于求出另一个坐标与参数 的函数关系且所得参数方程要简单第三、
尽可能使 或 的函数表达式是单值的使参数 有意义.
将普通方程 化为参数方程的问题(或求动点的轨迹问题)归根结底是求不定方程 (或动点
轨迹方程)的通解问题由代数知识它的通解应该含有一个任意常数这个常数就是参数.
如果参数选取的不适当就会使原曲线减少或增多.
例如求 的参数方程若设 为参数 则代入原方程得
所以 (3.1)
虽然方程3.1代入原方程是适合的.这表明满足3.1的所有点都在曲线 上.但原方程
中的 取值范围是一切实数 的取值范围是一切正实数.即原方程 表示为一条完整的抛物
线.而3.1中由第一式知 由第二式知 .这就是说3.1只代表原曲线的一部分
因此3.1不是原抛物线的参数方程.
由此,我们有选取参数的一般原理
当动点 在曲线上运动时除点P的坐标 外的第三个变量 都唯一地对应着动点 的一个确定
的位置反之对于曲线上任意一点都至少存在一个 与之对应.
这样,根据此原理所选取的参数 所适合的方程即为所求的曲线的参数方程.总之在研究如
何才能选取适当的参数中具体问题要具体分析并从中找出一般的规律性.
3.2 选取参数的一般方法
(1)已知曲线上动点 的运动规律建立曲线的参数方程
ⅰ若把曲线看成质点运动的轨迹那么动点的坐标是时间 的函数因此可取时间为参数.
ⅱ当动点的位置随动直线的位置而变化且动直线的斜率为已知时可选取其纵截距为参
数.
ⅲ一般地对于由转动而产生的轨迹的参数方程等问题最好选取其转动角为参数.
ⅳ若动点的位置随某一有向线段的数值变化可选取其有向线段的数值为参数.
(2)曲线的普通方程为 令 或 代人普通方程 后能解出 或
则 或
即为所求曲线的参数方程.
(3)若曲线的普通方程 可以写成 的形式则可令 代入原方程得 从而即为 所求参数
方程.
例1、求 的参数方程.
解因为 可以写成 的形式因而可令 代人原方程得 所以 的参数方程 为
特别地若曲线的普通方程 .经变形后可写成 的形式其中 , 为常数, 分别为 的一次
函数则可令
由此得出
显然这就是所求曲线的参数方程.
例2、把直线方程 化为参数方程.
解因为 可化为 的形式
则可令
得
所以
为所求曲线的参数方程.
(4)对于有些普通方程可以利用三角函数或双曲函数的恒等式把它们化为参数方程.
例3、求椭圆 的参数方程.
解令 代人椭圆的方程得
则有
为所求曲线的参数方程.
(5)若曲线的普通方程 且点 为曲线上一已知点则可令 即令 为常数 代入原方程后
若能解出 从而 即为所求.
例4求圆 的参数方程. -b..
