2007年高考数学试题分类汇编-函数与导数.pdf

2007年高考数学试题分类汇编函数与导数 重庆理已知函数c
bxxaxxf44ln)((x>0)在x = 1处取得极值c3其中a,b,c
为常数。
1试确定a,b的值
2讨论函数f(x)的单调区间
3若对任意x>0不等式22
)(cxf恒成立求c的取值范围。
解I由题意知(1) 3
f c  因此3b c c   从而3b 
又对( )
f x求导得 
3434
1
ln4'bx
x
axxaxxf3(4 ln 4 )x a x a b  
由题意(1) 0
f

因此4 0a b 解得12a
II由I知3( ) 48 ln
f x x x

0x令( ) 0f x

解得1x
当0 1
x 时( ) 0f x

此时( )f x为减函数
当1
x时( ) 0f x

此时( )f x为增函数
因此( )
f x的单调递减区间为(0 1)而( )f x的单调递增区间为(1 )∞
III由II知( )
f x在1x处取得极小值(1) 3f c  此极小值也是最小值要使2( ) 2f x c≥0x恒成立只需23 2c c  ≥
即22 3 0
c c ≥从而(2 3)( 1) 0c c ≥
解得
3
2
c≥或1
c≤
所以c的取值范围为3
( 1]
2
 
   


 
 
浙江理设3( )
3
x
f x对任意实数t记2
32
( )
3tg x t x t
 
I求函数( ) ( )ty f x g x
 的单调区间
II求证ⅰ当0
x时( )f x g( ) ( )tf x g x≥对任意正实数t成立
ⅱ有且仅有一个正实数0x使得0 0( ) ( )x tg x g x
≥对任意正实数t成立
本题主要考查函数的基本性质导数的应用及不等式的证明等基础知识以及综合运
用所学知识分析和解决问题的能力满分15分
I解316
4
3 3
x
y x  由24 0
y x

  得2x 
因为当( 2)
x  时y

0当( 2 2)x 时0y

当(2 )x  时0y


故所求函数的单调递增区间是( 2)
 (2 ) 单调递减区间是( 2 2)
II证明i方法一令2
3
32
( ) ( ) ( ) ( 0)
3 3tx
h x f x g x t x t x     
则2
2
3( )
h x x t

 当0t时由( ) 0h x

得1
3x t
当1
3( )
x x  时( ) 0h x


所以( )
h x在(0 ) 内的最小值是1
3( ) 0
h t
故当0
x时( ) ( )tf x g x≥对任意正实数t成立
方法二
对任意固定的0
x令2
32
( ) ( ) ( 0)
3th t g x t x t t
   则1 1
3 32
( ) ( )
3
h t t x t
 
由( ) 0
h t

得3t x当30t x 时( ) 0h t

当3t x时( ) 0h t


所以当3t x
时( )h t取得最大值
3 31
( )
3
h x x
因此当0
x时( ) ( )f x g x≥对任意正实数t成立
ii方法一8
(2) (2)
3tf g
 由i得(2) (2)t tg g≥对任意正实数t成立
即存在正实数02
x使得(2) (2)x tg g≥对任意正实数t成立
下面证明0x的唯一性当02
x00x8t时 3
0
0( )
3
x
f x0 016
( ) 4
3xg x x
 由i得3
0
016
4
3 3
x
x 
再取3
0t x
得3
03
0
0( )
3xx
g x所以3
03
0
0 0 016
( ) 4 ( )
3 3x
xx
g x x g x   
即02
x时不满足0 0( ) ( )x tg x g x≥对任意0t都成立
故有且仅有一个正实数02
x使得0 0( )0 ( )x tg x g x≥对任意正实数t成立
方法二对任意00
x0 016
( ) 4
3xg x x
 因为0( )tg x关于t的最大值是3
01
3
x所以要
使0 0( ) ( )x tg x g x
≥对任意正实数成立的充分必要条件是
3
0 016 1
4
3 3
x x≥
即2
0 0( 2) ( 4) 0
x x ≤ ①又因为00x不等式①成立的充分必要条件是02x
所以有且仅有一个正实数02
x使得0 0( ) ( )x tg x g x≥对任意正实数t成立 天津理已知函数2
22 1
( ) ( )
1
ax a
f x x
x
 
 

R其中aR
Ⅰ当1
a时求曲线( )y f x在点(2 (2))f处的切线方程
Ⅱ当0
a时求函数( )f x的单调区间与极值
本小题考查导数的几何意义两个函数的和、差、积、商的导数利用导数研究函数的单
调性和极值等基础知识考查运算能力及分类讨论的思想方法满分12分
Ⅰ解当1
a时22
( )
1
x
f x
x

4
(2)
5
f
又2 2
2 2 2 22( 1) 2 2 2 2
( )
( 1) ( 1)
x x x x
f x
x x
  

 
 
•6
(2)
25
f

 
所以曲线( )
y f x在点(2 (2))f处的切线方程为4 6
( 2)
5 25
y x   
即6 2 32 0
x y  
Ⅱ解2 2
2 2 2 22 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)
( )
( 1) ( 1)
a x x ax a x a ax
f x
x x
      

 
 
由于0
a以下分两种情况讨论
1当0
a时令( ) 0f x

得到11
x
a
 2x a
当x变化时( ) ( )f x f x

的变
化情况如下表 x 1
a
 
 
 
 
∞ 1
a 1
a
a
 

 
 
 a ( )
a ∞ ( )f x
 ..